Vamos a doblar papel.

Todos hemos escuchado alguna vez que doblando una hoja de papel sucesivas veces se podría alcanzar la Luna. Pero ¿cuanto hay de cierto en esto?
Supondremos que vamos a utilizar una hoja de papel de grosor estándar: 0.1 mm.
Bien, podemos ver claramente que si doblamos  ese papel a la mitad el grosor aumenta a 0.2mm.
Si repetimos la operación obtenemos un grosor de 0.4mm, 0.8mm,... y así sucesivamente al ir incrementando el número de dobleces. Esto se puede expresar de forma matemática mediante una función exponencial de la forma $$ grosor=2^X t $$ Siendo t el grosor inicial de la hoja (el resultado se expresa en la mismas unidades que t) y x el número de dobleces.
Hasta aquí bien. Por otro lado antes de alcanzar la luna vamos a ver cuantas veces hay que doblar una hoja de papel para alcanzar la Torre Eiffel cuya altura es de 324m (incluyendo la antena, sin ella la distancia desde el suelo a la azotea es de 300 m)
Es tan facil como sustituir en la formula anterior y despejar x:
$$ 324 m=2^{X} 10^{-4}m $$ $$ \frac{324}{10^{-4}}=2^{X} $$ $$ 324*10^{4}=2^{X} $$
Tomando logaritmos y sabiendo que $$ log_{2}(a)= \frac{log(a)}{log(2)} $$ Obtenemos que:
$$ X=\frac{log(324*10^4)}{log(2)}=21.623... $$
Como solo tiene sentido un número entero de dobleces redondeamos X a 22.
Y en el caso de que queramos alcanzar el Everest, ¿Cuantas dobleces harían falta?
Pues repitiendo los cálculos anteriores tenemos que:

$$ 8848m=2^X*10^{-4}m$$
$$X= \frac{log(8848*10^4)}{log{2}}=26,39...\approx 27 $$

Y por último haremos los cálculos para alcanzar la Luna. Ésta está a una distancia aproximada de 385.400 Km por lo que calculando obtenemos que:

$$ 385,4*10^6=2^X*10^{-4}m$$

$$X= \frac{log( 385,4 *10^{10})}{log{2}}=41.809...\approx 42 $$


Bien por un lado las matemáticas nos dice que es posible alcanzar la Luna doblando un papel. ¿Pero en la práctica se podría hacer?
Aplicando el mismo razonamiento que arriba vemos que la superficie del papel disminuye a medida que aumenta el grosor. Para una hoja de papel tamaño A0, con una superficie inicial de 1m², al doblarla una vez obtenemos una hoja de la mitad de superficie 0,5m², y doblándola otra vez de un cuarto, y asi sucesivamente. Matematicamente lo expresamos como:

$$A_f=\frac{A}{2^X}$$ Donde A es el área inicial, X el número de dobleces y A_f el área que tenemos al final (Con las mismas unidades que A). Si empezamos con un papel A0 con una superficie de 1m²
al alcanzar el tamaño de la torre Eiffel nos quedaría un papel con un área de:
$$ A_f=\frac{1 m^2}{2^{22}}=0.238mm^2$$
Vemos que no es posible manejar un papel con este tamaño.
La pregunta que nos asalta ahora es:
¿Habría alguna manera de calcular cuanta superficie de papel necesitamos para poder doblarlo hasta alcanzar la Torre EIffel por ejemplo?
Pues si es posible gracias a  Britney Gallivan quien es conocida principalmente por demostrar que una hoja de papel de 1200m podía doblarse 12 veces, cuando se pensaba que no podía pasarse de 8. No solo eso sino que también obtuvo 2 ecuaciones matemáticas las cuales son interesantes para lo que exponemos en esta entrada. La primera es la relación entre la longitud que tiene que tener una hoja de papel y el número máximo de dobleces que pueden hacerse. Para este caso el papel se dobla siempre en la misma dirección por lo que el ancho del papel siempre se mantiene fijo y el largo es el que varía. La expresión es la siguiente:
$$ L=\frac{\pi *t}{6}(2^n+4)(2^n-1) $$
donde t es el grosor inicial y n el número de dobleces.
Para el ejemplo que nos ocupa si quisiéramos alcanzar la altura de la torre Eiffel necesitaríamos un papel con una longitud de:
$$L=\frac{\pi *10^-4}{6}(2^{22}+4)(2^{22}-1) \approx 9,22 *10^9 = 9.220.000Km $$
Necesitaríamos una hoja de papel con una longitud mayor que la distancia entre la Tierra y Marte.
Bien por este camino es imposible ya que actualmente no hay tecnología para construir una hoja de papel de ese tamaño, también sospecho que no hay suficientes árboles para poder realizarla.
Pero tenemos otra alternativa, en vez de doblar el papel siempre a la misma dirección podemos doblarlo alternativamente en 2 direcciones por lo que para ello podemos utilizar la siguiente formula tambien de la señorita Gallivan:

$$ W=\pi t 2^{(\frac{3}{2})(n-1)}$$
Donde W es el lado del cuadrado de papel.
Para el ejemplo de la torre Eiffel tenemos que:
$$ W=\pi 10^{-4} 2^{(\frac{3}{2})(22-1)} \approx 955 Km $$
Puede ver que es una superficie excesivamente grande para poder operar con ella. Lo más curioso es que hasta en esto aparece el "amigo de" todos los matemáticos e ingenieros el número PI

Vale y después de todo este rollo sacamos la conclusión de que no es posible en la práctica alcanzar la Luna con un trozo de papel doblado. Si si, ya se lo que estáis pensando: valeeeee eso también lo sabiamos nosotros sin tener que tragarnos todo este tostón. Pues tenéis razón solo que ahora ya no solo sabeis que no es posible sino también el porqué no es posible.

Fuentes:
http://es.wikipedia.org/wiki/Britney_Gallivan
http://dunia.somms.net/?p=13
http://i-matematicas.com/blog/2011/01/24/doblando-un-papel-hasta-la-luna-y-mas-alla/
http://matesolidaria.blogspot.com/2011/11/doblando-un-papel-podemos-llegar-la.html
http://mathworld.wolfram.com/Folding.html